Дифференциал суммы произведения частного. Свойства первого дифференциала функции
1. d c = 0;
2. d(c u (x )) = c d u (x );
3. d(u (x ) ± v (x )) = d u(x ) ± d v (x );
4. d(u (x ) v (x )) = v (x ) d u (x ) + u (x )d v(x );
5. d(u (x ) / v (x )) = (v (x ) d u (x ) - u (x ) d v (x )) / v 2 (x ).
Укажем еще на одно свойство, которым обладает дифференциал, но не обладает производная. Рассмотрим функцию y = f(u), где u = φ(x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(φ(x)). Если каждая из функций f и φ являются дифференцируемыми, то производная сложной функции согласно теореме, равна y" = f"(u)· u". Тогда дифференциал функции
dy = f" (x )dx = f" (u )u"dx = f" (u )du,
так как u"dx = du. То есть
dy = f" (u )du. | (6) |
Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от x рассматривать функцию от переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности формы первого дифференциала.
Замечание. Отметим, что в формуле (5) dx = ∆ x, а в формуле (6) du является лишь линейной частью приращения функции u .
Рассмотрим выражение для первого дифференциала
dy = f" (x )dx.
Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.
Дифференциал второго порядка
Определение 1(дифференциал второго порядка). Значение δ(dy ) дифференциала от первого дифференциала (5) при δ x = dx , называется вторым дифференциалом функции y = f (x ) и обозначается d 2 y .
Таким образом,
d 2 y = δ (dy )| δ x = dx .
Дифференциал d n y можно ввести по индукции.
Определение 7. Значение δ(d n-1 y ) дифференциала от(n- 1)-го дифференциала при δ x = dx , называется n- м дифференциалом функции y = f (x ) и обозначается d n y .
Найдем выражение для d 2 y при этом рассмотрим два случая, когда x -независимая переменная и когда x = φ(t ), то есть является функцией переменной t .
1. пусть x = φ(t ), тогда
d 2 = δ (dy )| δx = dx = δ(f" (x )dx )| δx = dx =
= {δ(f" (x ))dx+f" (x )δ(dx )}| δx = dx = f"" (x )(dx ) 2 +f" (x )d 2 x.
d 2 y = f"" (x )(dx ) 2 +f" (x )d 2 x. | (7) |
2. пусть x - независимая переменная, тогда
d 2 y = f"" (x )(dx ) 2 ,
так как в этом случае δ(dx) = (dx)"δ x = 0.
Аналогично, по индукции легко получить следующую формулу, если x - независимая переменная:
d n y = f (n ) (x )(dx ) n .
Из этой формулы следует, что f (n) = d n y/(dx) n .
В заключение отметим, что дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, что сразу видно из формулы для дифференциала второго порядка (7).
Интегральное исчисление функции одной переменной
Неопределенный интеграл .
Функция называется первообразной по отношению к функции , если дифференцируема и выполняется условие
Очевидно, что где С-любая константа.
Неопределенным интегралом от функции называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается и равен
24.1. Понятие дифференциала функции
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.
Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так кака второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:
Поэтому первое слагаемое ƒ"(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
dy=ƒ"(х)dх, (24.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение
производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.
<< Пример 24.1
Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).
Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находим
dy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.
<< Пример 24.2
Найти дифференциал функции
Вычислить dy при х=0, dx=0,1.
Решение:
Подставив х=0 и dx=0.1, получим
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ"(х). Поэтому АВ=ƒ"(х) ∆х.
Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3 Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f"(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с"dx=0 dx=0.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать
у" х =у" u u" x .
Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у" х dx=у" u u" х dx. Но у" х dx=dy и u" х dx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:
dy=у" u du.
Сравнивая формулы dy=у" х dx и dy=у" u du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy=у" х dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у" u du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Например: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Таблица дифференциалов
24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
<< Пример 24.3
Найти приближенное значение приращения функции у=х 3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.
Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.
Итак, ∆у» 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:
∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);
Абсолютная погрешность приближения равна
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.
<< Пример 24.4
Вычислить приближенно arctg(1,05).
Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
т. е.
Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М (∆х) 2 , где М - наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].
<< Пример 24.5
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H=g л t 2 /2, g л =1,6 м/с 2 .
Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, находим
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела
24.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ"(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).
Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).
Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)
Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка
d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(х)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .
И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3
соответственно получаем:
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х - функция от кαкой-mo другой независимой переменной , то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:
d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x, т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ"(х) d 2 х.
Ясно, что если х - независимая переменная, то
d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
<< Пример 24.6
Найти d 2 y, если у=е 3х и х - независимая переменная.
Решение: Так как у"=3е 3х, у"=9e 3х, то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .
<< Пример 24.7
Найти d 2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t- независимая переменная.
Решение: Используем формулу (24.6): так как
у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,
то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2
Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)
d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,
d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .
Переобзовем приращение независимой переменной х дифференциалом этой переменной, обозначив его как dx, то есть для независимой переменной по определению будем считать
Назовём дифференциалом функции у=f(х) выражение
Обозначив его символом dy или df (х) по определению будем иметь
Последняя формула называется «формой» «первого» дифференциала. Забегая вперед приведём и объясним «архиважнейшее» свойство дифференциала - так называемую инвариантность (неизменность) его формы. Итак
Форма дифференциала не зависит(инвариантна) от того, является лих независимой переменной, или же этах - зависимая переменная - функция.
Действительно,
пусть
,
то есть у - сложная функция «от t»
По определению дифференциала имеем
.
Но
,
то есть опять имеет ту же форму.
Однако «суть» (а не форма) дифференциала в этих двух случаях разная. Чтобы это объяснить выясним сначала геометрический смысл дифференциала и некоторые другие его свойства. Из приведенного ниже рисунка видно, что дифференциал является частью приращения ∆у. Можно показать, что dy, есть главная и линейная часть ∆у. Главная в том смысле, что разность ∆у – dy есть величина бесконечно малая высшего, что ∆х порядка малости, а линейная в смысле линейности своей зависимости от ∆х.
Можно сказать также, что дифференциал есть (смотри рисунок) соответствующее приращение ординаты касательной. Теперь объяснима и разница в сути и значении дифференциальной формы при независимом и зависимом аргументе. В первом случае dx есть все приращение ∆х. С помощью определения легко доказываются и
Арифметические свойства дифференциала
Определим теперь
Производные и дифференциалы высших порядков.
По
определению
- вторая производная;
- третья производная и вообще
- n – ая производна функции
.
Точно также по определению
; - второй
дифференциал;
- третий дифференциал и вообще
- n – ый дифференциал
функции
.
Можно
показать, что
Приложения производных к исследованию функций.
В ажнейшей теоремой, на которой базируется почти все методы исследования функций, являетсятеорема Лангранжа: Если функция f (ч) непрерывна на отрезке (а, b) и дифференцируема во всех внутренних его точках, то найдется такая точка, что
Геометрически
(рис. 6) теорема утверждает, что на
соответствующем интервала
найдется точкатакая, что угловой коэффициент
касательной к графику в точке
равен угловому коэффициенту секущей,
проходящей через точки
и
.
Другими
словами, для «куска» графика описанной
в теореме функции, найдется касательная,
параллельная секущей, которая проходит
через граничные точки этого куска.
Из этой теоремы в частности следует
замечательное правило раскрытия
неопределенностей типа
-так
называемой правило маркиза Лопиталя
: Если функции
f(x
)
и
g(x)
дифференцируемы в точке а и некоторой
её окрестности
f(а)
=
g(а)
= 0, а
f"(а)
и
g"(а)
не равны нулю одновременно то
.
Замечания:
Можно показать, что 1. Правило применимо
и для раскрытия неопределенности
типа
;
2. Еслиf"(а)
= g"(а)
= 0 или ∞, а f""(а)
и g""(а)
существует и не равны нулю одновременно,
то
.
Спомощью теоремы Лангранжа можно доказать и достачныц признак монотонности функции:
Если
на интервале (а, b) то
f(x
)
возрастает (убывает) на этом интервале.
Следует отметить, что знако постоянство производной является и необходимым признаком монотонности. А уже из этих признаков можно вывести:
а) необходимый признак существования экстремума
Для того чтобы точка х 0 была точкой максимума (минимума), необходимо, чтобы f"(x 0 ) либо была равна нулю, либо не существовала. Такие точки х 0 , в которых f"(x 0 ) = 0 или не существуют называют критическими.
б) достаточный признак существования экстремума:
Если (см. рис.) при переходе через критическую точку х 0 производная f"(x ) функции меняет знак, то эта точка - точка экстремума. Если, при этом, f"(x ) меняет знак с «+» на «- « , то х 0 - точка максимума, а если с «-« на «+», то точка х 0 - точка минимума.
И наконец, приведем еще один признак, использующий понятие производной. Это
Достаточный признак выпуклости (вогнутости) графику функции «над» интервалом (а, b).
Если на интервале (а, b) производная f""(x )>0 то график f(x ) вогнут, а если f""(x )< 0, то график является выпуклым «над» этим интервалом.
Полная схема исследования функции может теперь выглядеть следующим образом:
Схема полного исследования функции
Область определения интервала знакопостоянства.
Асимптоты.
Четность, периодичность.
Интервалы монотонности, экстремумы.
Выпуклость, вогнутость.
График функции (с выше найденными контрольными точками).
2. Пример: Исследовать и построить график функции
.
б)
,
в) у = х + 8 - наклонная асимптота,
Приравнивая производную к нулю и выяснив её знаки на образовавшихся интервалах постоянства, получаем таблицу:
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ"(х) ∆х.
Основные дифференциалы:
Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.
- Дифференциал постоянной
равен нулю:
dc = 0, с = const. - Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов слагаемых:
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным слагаемым, то их дифференциалы равны
d(u+c) = du (c= const).
- Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой:
d(uv) = udv + vdu.
Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала
d(cu) = cdu (с = const).
- Дифференциал частного u/v двух дифференцируемых функций и = и(х) и v = v(x) определяется формулой
- Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность формы дифференциала): дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента независимого от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f" . Таким образом,
f" (x ) = (f" (x ))" .
Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f , то ее n -й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f (n) . Итак,
f (n) (x ) = (f (n-1) (x ))" , n ϵ N , f (0) (x ) = f (x ).
Число n называется порядком производной .
Дифференциалом n -го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,
d n f (x ) = d (d n -1 f (x )), d 0 f (x ) = f (x ), n ϵ N .
Если x - независимая переменная, то
dx = const и d 2 x = d 3 x = ... = d n x = 0.
В этом случае справедлива формула
d n f (x ) = f (n ) (x )(dx ) n .
Производные n -го порядка от основных элементарных функций
Справедливы формулы
Применение производных к исследованию функций.
Основные теоремы дифференцирования функций:
Теорема Ролля
Пусть функция f : [a , b ] → R непрерывна на сегменте [a , b ], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f (a ) = f (b ). Тогда внутри сегмента [a , b ] найдется точка ξ такая, что f" (ξ ) = 0.
Теорема Лагранжа
Если функция f : [a , b ] → R непрерывна на сегменте [a , b ] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то такое, что f (b ) - f (a ) = f" (ξ )(b - a ).
Теорема Коши
Если каждая из функций f и g непрерывна на [a , b ] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a , b [ и если, кроме того, производная g" (x ) ≠ 0 на ]a , b [, то такое, что справедлива формула
Если дополнительно потребовать, чтобы g (a ) ≠ g (b ), то условие g" (x ) ≠ 0 можно заменить менее жестким: