Дифференциал функции y ln 2x равен. Дифференциалы - это что такое? Как найти дифференциал функции? Производная и дифференциал

Если функция дифференцируема в точке, то её приращение можно представить в виде суммы двух слагаемых

. Эти слагаемые являются бесконечно малыми функциями при
.Первое слагаемое линейно относительно
,второе является бесконечно малой более высокого порядка, чем
.Действительно,

.

Таким образом второе слагаемое при
быстрее стремится к нулю и при нахождении приращения функции
главную роль играет первое слагаемое
или (так как
)
.

Определение . Главная часть приращения функции
в точке , линейная относительно
,называется дифференциалом функции в этой точке и обозначается dy или df (x )

. (2)

Таким образом, можно сделать вывод: дифференциал независимой переменной совпадает с её приращением, то есть
.

Соотношение (2) теперь принимает вид

(3)

Замечание . Формулу (3) для краткости часто записывают в виде

(4)

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график дифференцируемой функции
. Точки
ипринадлежат графику функции. В точкеМ проведена касательная К к графику функции, угол которой с положительным направлением оси
обозначим через
. Проведем прямыеMN параллельно оси Ox и
параллельно осиOy . Приращение функции равно длине отрезка
. Из прямоугольного треугольника
, в котором
, получим

Изложенные выше рассуждения позволяют сделать вывод:

Дифференциал функции
в точке изображается приращением ординаты касательной к графику этой функции в соответствующей её точке
.

Связь дифференциала с производной

Рассмотрим формулу (4)

.

Разделим обе части этого равенства на dx , тогда

.

Таким образом, производная функции равна отношению её дифференциала к дифференциалу независимой переменной .

Часто это отношение рассматривается просто как символ, обозначающий производную функцииу по аргументу х .

Удобными обозначениями производной также являются:

,
и так далее.

Употребляются также записи

,
,

особенно удобные, когда берется производная от сложного выражения.

2. Дифференциал суммы, произведения и частного.

Так как дифференциал получается из производной умножением её на дифференциал независимой переменной, то, зная производные основных элементарных функций, а также правила для отыскания производных, можно прийти к аналогичным правилам для отыскания дифференциалов.

1 0 . Дифференциал постоянной равен нулю

.

2 0 . Дифференциал алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равен алгебраической сумме дифференциалов этих функций

3 0 . Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен сумме произведений первой функции на дифференциал второй и второй функции на дифференциал первой

.

Следствие . Постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала

.

Пример . Найти дифференциал функции .

Решение.Запишем данную функцию в виде

,

тогда получим

.

4. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

Определение . Функция
называется заданной параметрически, если обе переменныех и у определяются каждая в отдельности как однозначные функции от одной и той же вспомогательной переменной – параметра t :

где t изменяется в пределах
.

Замечание . Параметрическое задание функций широко применяется в теоретической механике, где параметр t обозначает время, а уравнения
представляют собой законы изменения проекций движущейся точки
на оси
и
.

Замечание . Приведем параметрические уравнения окружности и эллипса.

а) Окружность с центром в начале координат и радиусом r имеет параметрические уравнения:

где
.

б) Запишем параметрические уравнения для эллипса:

где
.

Исключив параметр t из параметрических уравнений рассматриваемых линий, можно прийти к их каноническим уравнениям.

Теорема . Если функция у от аргумента х задана параметрически уравнениями
, где
и
дифференцируемые по t функции и
, то

.

Пример . Найти производную функции у от х , заданной параметрическими уравнениями.

Решение.
.

Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.

В этой статье рассмотрены типовые задачи дифференцирования. Курс высшей математики учащихся ВУЗов зачастую содержит ещё задания на использование дифференциала в приближенных вычислениях, а также поиск решений дифференциальных уравнений. Но главное – при чётком понимании азов вы с лёгкостью расправитесь со всеми новыми задачами.

Дифференциал (первого порядка) функции - это главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. Дифференциал аргумента равен его приращению:
. Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента
.

Основные свойства дифференциала:

1.
, где-const.

2.
.

3.
.

4.
.

5.
,
.

6. ,
. Форма дифференциала первого порядка не зависит от того, является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента. В этом состоит свойствоинвариантности формы дифференциала первого порядка .

Дифференциалом второго порядка функции
называется дифференциал от дифференциала первого порядка:
.

Аналогично определяется дифференциал третьего порядка:
.Дифференциал n -го порядка:
.

Если
и- независимая переменная, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

,
,…..,
.

Если
,
, то
, где дифференцирование функциивыполняется по переменной. Это имеет место и для дифференциалов более высоких порядков.

Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности формы.

Геометрически дифференциал представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке
.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то
и. Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений.

Абсолютная величина разности между истинным значением какой-либо величины и ее приближенным значениемназывается абсолютной погрешностью и обозначается
.

Абсолютная величина отношения абсолютной погрешности к истинному значению называется относительной погрешностью и обозначается
. Относительная погрешность обычно выражается в процентах
.

Если приращение функции заменить ее дифференциалом, то получим приближенное значение приращения
. В этом случае абсолютная погрешность равна
, а относительная погрешность будет
.

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции , если известна абсолютная погрешностьаргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции
при некотором значении аргумента, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значениес абсолютной погрешностью
,
. Тогда

Отсюда видно, что
.

Относительная погрешность функции выражается формулой

.

Пример 1. Найти дифференциал функции
.

Решение:
.

Пример 2. Найти все дифференциалы функции
.

Решение: ,

,
.

Пример 3. Найти
для неявно заданной функции
.

Решение: Функция задана неявно. Находим первую производную

, тогда
.

Вычислим вторую производную

, отсюда
.

Пример 4. Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и дифференциал:
,
,
.

Решение:
.
.

Пример 5. Вычислить приближенное значение
.

Решение: Рассмотрим функцию
. Полагая
,
и применяя формулу, получим:

Пример 6. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Решение: Воспользуемся формулой
. Полагая
,
, имеем. Следовательно, приближенное значение площади круга составляет.

Пример 7. Для функции
найти приращение ординаты касательной и приращение функции при переходе аргументаот значения
к
.

Решение: согласно геометрическому смыслу дифференциала, приращению ординаты касательной соответствует дифференциал функции
.

При
иполучим
.

Приращение функции находим по формуле

Следовательно, приращение ординаты касательной равно 0,7, а приращение функции 0,71. Т. к.
, то.

Пример 8. Найти дифференциал и приращение функции
в точке
и
. Найти абсолютную и относительную погрешности значения функции при замене приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Имеем:
,

При
и
получим:

, .

Абсолютная погрешность
, а относительная погрешность
.

Пример 9. При измерении сторона куба оказалась равной 4 см. При этом максимально возможная погрешность измерения
находится в пределах
см. Определить абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема куба.

Решение: Объем куба равен
см.

Возможная неточность измерения
.

Отсюда абсолютная погрешность .

Относительная погрешность
.

Пример 10. Найти приближенно
.

Решение: Полагаем
, тогда
,

Если принять
, то
,
.

Найти дифференциалы указанных порядков от функций:

1.
,
-?. Ответ:
.

2.
,
-? Ответ:
.

3.
,
-? Ответ:
.

4.
,
-? Ответ:
.

5.
,
,
,
-? Ответ:
.

,
.

6.
,
-?

7.
,
-? Ответ:
.

8.
,
-? Ответ:
.

9.

-? Ответ:
.

10.

-? Ответ:
.

11.
,
-? Ответ:
.

12.
,
-? Ответ:.

13.
,
.
-? Ответ:
,
.

14.
,
,
-?

Ответ:
,
.

15.
-?

Найти приближенное значение:

16.
. Ответ: 0,811.

17.
. Ответ: 1,035.

18.
. Ответ: 0,078.

19.
. Ответ: 1,9938.

20.
. Ответ: 2,02.

21.
. Ответ:3,03.

22.
. Ответ:
.

23.
. Ответ:
.

24.
. Ответ: 0,1.

25.
. Ответ:
.

26. Определить, на сколько приблизительно увеличится объем шара, если его радиус
см увеличить на 0,2см. Ответ: 565
.

27. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м. Ответ: .

28. Сравнить приращение и дифференциал функции
.

Ответ:
,
.

29. Вычислить
,
для функции
при
и
.

Ответ:
,
.

30. Найти приближенное значение объема шара радиуса 2,01 м.

Ответ:
.

31. Найти приближенное значение из уравнения:

Ответ:
.

32. Найти приближенно значение объема шара радиуса
.

Ответ:
.

33. Ребра куба увеличены на 1см. При этом дифференциал
объемакуба оказался равным 12 см. Найти первоначальную длину ребер. Ответ: 2 см.

34. Радиус круга увеличен на 1см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным
см. Найти первоначальную величину радиуса. Ответ: 3 см.

35. Определить приблизительно относительную погрешность при вычислении поверхности сферы, если при определении ее радиуса относительная погрешность составила
. Ответ:
.

Определение дифференциала

Рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) которая является непрерывной в интервале \(\left[ {a,b} \right].\) Предположим, что в некоторой точке \({x_0} \in \left[ {a,b} \right]\) независимая переменная получает приращение \(\Delta x.\) Приращение функции \(\Delta y,\) соответствующее такому изменению аргумента \(\Delta x,\) выражается формулой \[\Delta y = \Delta f\left({{x_0}} \right) = f\left({{x_0} + \Delta x} \right) - f\left({{x_0}} \right).\] Для любой дифференцируемой функции приращение \(\Delta y\) можно представить в виде суммы двух слагаемых: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right),\] где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения \(\Delta x,\) а второй член имеет более высокий порядок малости относительно \(\Delta x.\) Выражение \(A\Delta x\) называется дифференциалом функции и обозначается символом \(dy\) или \(df\left({{x_0}} \right).\)

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции \(\Delta y\) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной \({x_0} = 1 \,\text{м}\,\) (рисунок \(1\)). Его площадь, очевидно, равна \[{S_0} = x_0^2 = 1 \,\text{м}^2.\] Если сторону квадрата увеличить на \(\Delta x = 1\,\text{см},\) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять \ т.е. приращение площади \(\Delta S\) равно \[ {\Delta S = S - {S_0} = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\text{м}^2 } = {201\,\text{см}^2.} \] Представим теперь это приращение \(\Delta S\) в таком виде: \[\require{cancel} {\Delta S = S - {S_0} = {\left({{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 } = {\cancel{x_0^2} + 2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} - \cancel{x_0^2} } = {2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} } = {A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {dy + o\left({\Delta x} \right).} \] Итак, приращение функции \(\Delta S\) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна \(\Delta x\) и равна \ и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного \[\omicron\left({\Delta x} \right) = {\left({\Delta x} \right)^2} = {0,01^2} = 0,0001\,\text{м}^2 = 1\,\text{см}^2.\] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное \(200 + 1 = 201\,\text{см}^2.\)

Заметим, что в данном примере коэффициент \(A\) равен значению производной функции \(S\) в точке \({x_0}:\) \ Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :

Коэффициент \(A\) главной части приращения функции в точке \({x_0}\) равен значению производной \(f"\left({{x_0}} \right)\) в этой точке, т.е. приращение \(\Delta y\) выражается формулой \[ {\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {f"\left({{x_0}} \right)\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right).} \] Разделив обе части этого равенства на \(\Delta x \ne 0,\) имеем \[ {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} } = {f"\left({{x_0}} \right) + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}}.} \] В пределе при \(\Delta x \to 0\) получаем значение производной в точке \({x_0}:\) \[ {y"\left({{x_0}} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {A = f"\left({{x_0}} \right).} \] Здесь мы учли, что для малой величины \(\omicron\left({\Delta x} \right)\) более высокого порядка малости, чем \(\Delta x,\) предел равен \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} = 0.\] Если считать, что дифференциал независимой переменной \(dx\) равен ее приращению \(\Delta x:\) \ то из соотношения \ следует, что \ т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

Геометрический смысл дифференциала функции

На рисунке \(2\) схематически показана разбивка приращения функции \(\Delta y\) на главную часть \(A\Delta x\) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости \(\omicron\left({\Delta x} \right)\).

Касательная \(MN\), проведенная к кривой функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \(M\), как известно, имеет угол наклона \(\alpha\), тангенс которого равен производной: \[\tan \alpha = f"\left({{x_0}} \right).\] При изменении аргумента на \(\Delta x\) касательная получает приращение \(A\Delta x.\) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения \(\Delta y\) (отрезок \(N{M_1}\)) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно \(\Delta x\).

Свойства дифференциала

Пусть \(u\) и \(v\) − функции переменной \(x\). Дифференциал обладает следующими свойствами:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:

   \(d\left({Cu} \right) = Cdu\), где \(C\) − постоянное число.

2. Дифференциал суммы (разности) функций:

   \(d\left({u \pm v} \right) = du \pm dv.\)

3. Дифференциал постоянной величины равен нулю:

   \(d\left(C \right) = 0.\)

4. Дифференциал независимой переменной \(x\) равен ее приращению:

   \(dx = \Delta x.\)

5. Дифференциал линейной функции равен ее приращению:

   \(d\left({ax + b} \right) = \Delta \left({ax + b} \right) = a\Delta x.\)

6. Дифференциал произведения двух функций:

   \(d\left({uv} \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. Дифференциал частного двух функций:

   \(d\left({\large\frac{u}{v}\normalsize} \right) = \large\frac{{du \cdot v - u \cdot dv}}{{{v^2}}}\normalsize.\)

8. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:

   \(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим композицию двух функций \(y = f\left(u \right)\) и \(u = g\left(x \right),\) т.е. сложную функцию \(y = f\left({g\left(x \right)} \right).\) Ее производная определяется выражением \[{y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\] где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.

Дифференциал "внешней" функции \(y = f\left(u \right)\) записывается в виде \ Дифференциал "внутренней" функции \(u = g\left(x \right)\) можно представить аналогичным образом: \ Если подставить \(du\) в предыдущую формулу, то получим \ Поскольку \({y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\) то \ Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала .

Дифференциалом аргумента называется его приращение dx = ∆ x .

Дифференциалом функции называется произведение производной на приращение аргумента dy = f ′( x )∙∆ x или dy = f ′( x )∙ dx .

Замечание:

Сравнение дифференциала с приращением.

Пусть ∆ y и ∆xодного порядка малости.

Dyи ∆xодного порядка малости, т. е.dyи ∆yодного порядка малости.

α∙∆x– бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x.

.Дифференциал есть главная часть приращения функции .

Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую

более высокого порядка, чем приращение аргумента.

Геометрический смысл дифференциала функции.

dy =f′(x)∙∆x=tgφ∙∆x=NT.

Дифференциал равен приращению ординаты касательной.

Свойства дифференциала.

Дифференциал суммы равен сумме дифференциалов.

d ( u + v) = du + dv.

Дифференциал произведения d ( u v ) = du ∙ v + u dv .

Дифференциал сложной функции.

y = f(u), u = φ(x), dy = y′ x dx =

dy = f ′( u ) du – инвариантность формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков.

dy = f ′(x )∙ dx , отсюда

Гиперболические функции .

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций.

Определения.

Из определений гиперболических функций следуют соотношения:

ch 2 x–sh 2 x= 1,sh2x= 2shx∙chx,ch2x=ch 2 x+sh 2 x,sh(α±β) =shαchβ±chαshβ.Производные от гиперболических функций.

Теорема Ролля.

Если функция f ( x ) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ], имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка и принимает на концах промежутка равные значения, то внутри промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка x = ξ, что f ′(ξ) = 0.

Геометрический смысл.

y

f (a ) = f (b ), k кас = 0.

A C B На гладкой дуге [ a , b ] найдется такая точка

f (a ) f (b ) С, в которой касательная параллельна хорде.

a ξ b x

Теорема Лагранжа (1736-1813, Франция) .

Если функция определена и непрерывна на замкнутом промежутке [ a , b ] и имеет производную во всех внутренних точках этого промежутка, то внутри этого промежутка найдется, по крайней мере, одна такая точка х = ξ, что f ( b ) – f ( a ) = f ′(ξ)∙( b – a ).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Имеем гладкую дугу АВ.

На гладкой дуге АВ найдется такая точка С, в которой касательная параллельна хорде АВ.

Доказательство. Рассмотрим функциюF (x ) = f (x ) – λ x . Подберем λ так, чтобы выполнялись условия теоремы Ролля.

F(x) – определена и непрерывна на [a , b ], т.к. определена и непрерывна функцияf (x ),.

F ′(x ) = f ′(x ) – λ − существует,

Подберем λ так, чтобы выполнялись условия F (a ) = F (b ), т.е.f (a ) – λ a = f (b ) – λ b ,

По теореме Ролля найдется такая точка x = ξЄ(a , b ), чтоF ′(ξ) = 0, т.е.

Возрастание и убывание функции.

Функция называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.